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利用空间向量求空间角和空间距离

2010年第15期SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION

○教学研究○科技信息

利用空间向量求空间角和空间距离

王青锋

(蓝田县城关中学陕西蓝田

710500)

【摘要】利用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角。把立体几何问题转化为空间向量问题,借助坐标系进行代数运算,利用向量的方法解决几何问题,新教材中解决立体几何问题的一个重要方法。文章首先说明向量与几何的关系,并通过几个例题具体说明利用空间向量求立体几何中点到面的距离、线线角、线面角及面面角的方法。

【关键词】空间向量;空间角;空间距离向量既是代数研究的对象,又是几何研究的对象,是沟通几何与代数的桥梁。利用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角。把立体几何问题转化为空间向量问题,借助坐标系进行代数运算,利用向量的方法解决几何问题,新教材中解决立体几何问题的一个重要方法。如何用空间向量解决点到面的距离,线线角、线面角及面面角呢?下面通过几个例题就这方面问题谈一下自己的想法,起到一个抛砖引玉的作用。

AAAACAB·DAAa,b所成角为θ,则cosθ=cos〈AAB,ACD〉=.ABCD

3

利用空间向量求直线和平面所成的角

∴AB与MD所成角的大小为π

点评:若a,b是异面直线,点A、B在直线a上,C、D在直线b上,

1利用向量法求点到平面的距离

例1.(2008安徽卷)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为

1的菱形,∠ABC=π,OA⊥底面

ABCD,OA=2,M为OA的中点,求点B到平面OCD的距离。

解析:作AP⊥CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,,0),D(-,,0),O222(0,0,2),M(0,0,1)

例3.(2009江西卷)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点N.求直线CD与平面ACM所成的角的大小。

解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),

B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2);

设平面ACM的一个法向量軋n=

AA(x,y,z),由軋n⊥AAC,軋n⊥AAM可得:

2x+4y=0

,令z=1,则軋n=(2,-1,1)。=2y+2z=0

设所求角为α,

则sinα=

AAAP=(0,,-2),OD=(-,,-2)∵AO

A

AAAAAAAAA

AAAA··OP=0,nOD=0∴设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则n

ACA軋D·n

CD軋n

=,所以所求角的大小为arcsin。

y-2z=0

2

点评:若直线a与平面α斜交于B点,P在直线a上,PA⊥α于

-x+y-2z=0

AAn为平面α的法向量,a与α所成角为θ,则sinθ=sin(π-〈PA,軋n〉)=A,軋

AA軋nAAA,軋n〉=PA·cos〈P

PA軋n

4

利用空间向量求平面和平面所成的二面角

例4.(2008陕西卷)三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几

何体如图所示,截面为A1B1C1,

取z=姨,解得n=(0,4,姨)

A设点B到平面OCD的距离为d,则d为AOB在向量n=(0,4,

姨)上的投影的绝对值,

AAn2AB=(1,0,-2),∴d=OB·O∵A=.

n3

所以点B到平面OCD的距离为2.

点评:设AB为平面α的一条斜线段,軋n为平面α的法向量,A到

∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=BD=1.求

姨,AB=姨,AC=2,

二面角A-CC1-B的大小.

解析:如图,建立空间直角坐标系,A1C1=1则A(0,0,0),B(姨,

AAA軋B·n.A平面α的距离AAC=

軋n

2利用空间向量求异面直线所成的角

例2.(2008安徽卷)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边

0,0),C(0,2,0),A1(0,0,姨),C1(0,1,姨)

长为1的菱形,∠ABC=π,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点。

AAB=∵BA⊥平面ACC1A1,取m=A

求异面直线AB与MD所成角的大小;

解析:同例1,建立空间直角坐标系.设AB与MD所成的角为θ,

(姨,0,0)为平面ACC1A1的法向量,设平面BCC1B1的法向量为n=

AAAB=(1,0,0),AMD=(-,,-1)∵A

∴cosθ=

AAAA(l,m,n),则BC·n=0,CCn=0.1·

AAAAAB·MD

A·BMD

=1,∴θ=π

23

=

∴l=姨m,n=m

-m+姨n=0

-姨l+2m=0

如图,可取m=1,则n=姨

利用空间向量求空间角和空间距离

利用空间向量求空间角和空间距离

利用空间向量求空间角和空间距离

1,3

,3

(下转第273页)

270

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