圆锥曲线求参数范围专题
一、如何建立不等关系?(求参数范围的关键是建立不等关系):
1、利用圆锥曲线的定义。如离心率的范围。
x2y22、利用点在圆锥曲线内(外)的充要条件。如点(x0,y0)在椭圆2 2 1内
ab 22
xy
可列式为02 02 1.
ab
x2y2
3、利用圆锥曲线上点坐标的范围。如点P(x0,y0)2 2 1上,可列式
ab
为 a x0 a, b y0 b.4、利用二次方程有解的条件。如可借助一元二次方程的判别式及根的分布来构造
含参变量的不等式,从而求出参变量范围。5、转化为函数的值域或最值。
二、类型与解题策略
1、单参数问题。如求参数m的范围,只要列出含m这一个参数的不等式(组)求解。 2、双参数问题。如求参数m的范围,需联系另一参数k,对策有 (1)将m表示成k的函数:m=f(k),利用k的范围,求f(k)值域; (2)列出m、k混合的关系式(等式),再列出m、k受限条件(不等式),从等式中解出k (m),代入不等式进而解出m的取值范围。 3、求与“比值”有关范围问题,常用:
(1) 列齐次式的思想,如求离心率的范围可以列出含a、c的齐次不等式;
求
x1x2
(x1 x2)2
的范围,有时可以用韦达定理求
x1x2
,变形即有
x1x2
。
(2) 利用向量共线求比值范围。如求
形后用韦达定理求解。
AB
的范围,可设AB AC,得到关于坐标的方程,变AC
三、例题:
1、利用曲线的定义、标准方程和性质列不等关系
2
例1、设椭圆x y2 1的两个焦点是F1( c,0),F2(c,0)(c 0),且椭圆上存在一点P,使得直线PF1
m 1
与PF2垂直。求实数m的取值范围。
解:(单参数问题,本题抓住椭圆方程对椭圆上的点P坐标的限制) 由题设有m 0,c m,设点P的坐标为(x0,y0),由FF1⊥PF2,得:
y0y
0 1 x0 cx0 c
化简得:x0 y0
22
x02m2 1122
,y02 y0 1联立,解得x0 ,将(1)与 m (1)
mmm 1
由m 0,x0
[同型练习]
2
m2 1
0,得m 1.所以m的取值范围是m 1.
m
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