第八章 方差分析与回归分析
本章前三节研究方差分析,讨论多个正态总体的比较,后两节研究回归分析.讨论两个变量之间的相关关系.
§8.1 方差分析
8.1.1
问题的提出
上一章讨论了单个或两个正态总体的假设检验,这里讨论多个正态总体的均值比较问题.
通常为了研究某一因素对某项指标的影响情况,将该因素在多种情形下进行抽样检验,作出比较.一般将该因素称为一个因子,所检验的每种情形称为水平.在每个水平下需要考察的指标都分别构成一个总体,比较它们的总体均值是否相等.对每一个总体都分别抽取一个样本,样本容量称为重复数.
如果只对一个因子中的多个水平进行比较,称为单因子方差分析,对多个因子的水平进行比较,称为多因子方差分析.本章只进行单因子方差分析.
例 在饲料养鸡增肥的研究中,现有三种饲料配方:A1 , A2 , A3 ,为比较三种饲料的效果,特选24只相似的雏鸡随机均分为三组,每组各喂一种饲料,60天后观察它们的重量.实验结果如下表所示: 饲料
鸡重/g
A11073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028 A21107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001 A31093 1029 1080 1021 1022 1032 1029 1048 在此例中,就是要考察饲料对鸡增重的影响,需要比较三种饲料对鸡增肥的作用是否相同.这里,饲料就是一个因子,三种饲料配方就是该因子的三个水平,每种饲料喂养的雏鸡60天后的重量分别构成一个总体,这里共有3个总体,每一个总体抽取样本的重复数都是8,比较这3个总体的均值是否相等. 8.1.2
单因子方差分析的统计模型
设因子A有r个水平A1 , A2 , …, Ar ,在每个水平下需要考察的指标都构成一个总体,即有r个总体,分别记为Y1 , Y2 , …, Yr ,对每一个总体都分别抽取一个样本,首先考虑重复数相等的情形,设重复数都是m,总体Yi的样本Yi1 , Yi2 , …, Yim ,i = 1, 2, …, r.作出以下假定:
(1)每一个总体都服从正态分布,即Yi~N(µi,σi2),i=1,2,L,r;
2
(2)各个总体的方差都相等,即σ12=σ2=L=σr2,都记为σ 2;
(3)各个总体及抽取的样本相互独立,即Yij相互独立,i = 1, 2, …, r,j = 1, 2, …, m. 需要比较它们的总体均值是否相等,即检验的原假设与备择假设为
H0:µ 1 = µ 2 = … = µ r vs H1:µ 1 , µ 2 , …, µ r不全相等,
如果H0成立,就可以认为这r个水平下的总体均值相同,称为因子A不显著;反之,如果H0不成立,就称为因子A显著.
在水平Ai下的样品Yij与该水平下的总体均值µ i之差ε ij = Yij µ i为随机误差.由于Yij ~ N (µ i , σ 2 ),因此随机误差ε ij ~ N (0 , σ 2 ).对所有r个水平下的总体均值求平均,即
11r
µ=(µ1+µ2+L+µr)=∑µi
rri=1
称为总均值.每个水平Ai下的总体均值µ i与总均值µ 之差a i = µ i µ 称为该水平Ai下主效应.显然所有
主效应a i之和等于0,即
∑a
i=1
r
i
=0,
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