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18学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版4_5180306456

第3节排序不等式

18学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版4_5180306456

[核心必知]

1.三维形式的柯西不等式

设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则

(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当b i=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,3)时,等号成立.

2.一般形式的柯西不等式

设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则

(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.

[问题思考]

1.在一般形式的柯西不等式的右端中,表达式写成a i·b i(i=1,2,3,…,n),可以吗?

提示:不可以,a i·b i的顺序要与左侧a i,b i的顺序一致.

2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为a i=kb i(i=1,2,3,…,n),可以吗?

提示:不可以.若b i=0而a i≠0,则k不存在.

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