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青岛理工大学线性练习册答案

4-5章

第四章 向量组的线性相关性

第一节 n维向量

1.设v1

(1,1,0)T,v2 (0,1,1)T,v3 (3,4,0)T,求3v1 2v2 v3.

TTT

3v 2v v 3(1,1,0) 2(0,1,1) (3,4,0)23解:1

(3 1 2 0 3,3 1 2 1 4,3 0 2 1 0)T (0,1,2)T

2.设3(a1

a) 2(a2 a) 5(a3 a)其中a1 (2,5,1,3)T, a2 (10,1,5,10)T,

a3 (4,1, 1,1)T,求a

解 由3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a)整理得

11

a (3a1 2a2 5a3) [3(2,5,1,3)T 2(10,1,5,10)T 5(4,1, 1,1)T]

66

(1,2,3,4)T

3.已知 + =(2,1,5,2,0), - =(3,0,1,-1,4),求 , .

解:

[( ) ( )] [(2,1,5,2,0) (3,0,1, 1,4)] (,,3,,2)

1151122222

11113 [( ) ( )] [(2,1,5,2,0) (3,0,1, 1,4)] ( ,,2,, 2)

22222

第二节 向量组的线性相关性

1.设b1

a1 a2,b2 a2 a3,b3 a3 a4,b4 a4 a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.

x2b2 x3b3 x4b4 0则

证明 设有x1,x2,x3,x4使得,x1b1

x1(a1 a2) x2(a2 a3) x3(a3 a4) x4(a4 a1) 0 (x1 x4)a1 (x1 x2)a2 (x2 x3)a3 (x3 x4)a4 0

(1) 若a1,a2,a3,a4线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,k3,k4,

k1 x1 x4;k2 x1 x2;k3 x2 x3;k4 x3 x4;

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