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高中数学竞赛教程 平面几何

高中数学竞赛教程 平面几何

第一讲 注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.

例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP=CQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?试证明你的结论. 答: 当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC为等腰三角形.

证明:如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP=∠AQC中,显然

∠DBP=∠AQC,∠DPB=∠C.

D

A

BP图1

Q

由BP=CQ,可知 △DBP≌△AQC. 有DP=AC,∠BDP=∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP=∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB=DP. 所以AB=AC.

这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形,∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ADE. E证明:如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE. 由AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有PA=ED,PB=EC. =

显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 ∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE. 由∠BAF=∠BCE,可知 ∠BAF=∠BPE.

有P、B、A、E四点共圆. 于是,∠EBA=∠APE. 所以,∠EBA=∠ADE.

P

B图2

DC

F

这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处

利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.

例3 在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证:PM+PN=PQ.

A

证明:如图3,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC NM

E

于K、G,连PG. D 由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC两边距离相等.有KQ=PN. 显然,

EPPD

B

K

Q图3

C

EFFD

CGGD

,可知PG∥EC.

由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK=PM.于是, PM+PN=PK+KQ=PQ.

这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM=PK,就有PM+PN=PQ.证法非常简捷. 3 为了线段比的转化

由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.

例4 设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1=CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证:

ABAP

ACAQ

AM

1

AN1

AMAN

22

.

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