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函数周期性

函数周期性

(一)高考要求

(二) 主要知识:

1.周期函数:对于f(x)定义域内的每一个x,都存在非零常数T,使得f(x T) f(x)恒成立,则称函数f(x)具有周期性,T叫做f(x)的一个周期,则kT(k Z,k 0)也是f(x)的周期,所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:

函数y f x 满足对定义域内任一实数x(其中a为常数), (1)f x f x a ,则y f x 是以T a为周期的周期函数; (2)f x a f x ,则f x 是以T 2a为周期的周期函数; (3)f x a

1

,则f x 是以T 2a为周期的周期函数; fx(4)f x a f x b ,则f x 是以T a b为周期的周期函数;

以上(1)-(4)比较常见,其余几种题目中出现频率不如前四种高,并且经常以数形结合的方式求解。

(5)函数y f(x)满足f(a x) f(a x)(a 0),若f(x)为奇函数,则其周期为T 4a,若f(x)为偶函数,则其周期为T 2a.

(6)函数y f(x) x R 的图象关于直线x a和x b a b 都对称,则函数f(x)是

以2 b a 为周期的周期函数;

(7)函数y f(x) x R 的图象关于两点A a,0 、B b,0 a b 都对称,则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数;

(8)函数y f(x) x R 的图象关于A a,0 和直线x b a b 都对称,则函数f(x)是以4 b a 为周期的周期函数;

(9)有些题目中可能用到构造,类似于常数列。 (三)主要方法:

1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点: 一是对定义域中任意的x恒有f(x T) f(x); 二是能找到适合这一等式的非零常数T,

2.解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想

函数周期性

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