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微分几何(彭家贵,陈卿)习题答案

彭家贵,陈卿编写的《微分几何》部分答案

习题一(P13)

2.设a(t)是向量值函数,证明:

(1)a 常数当且仅当a(t),a (t) 0; (2)a(t)的方向不变当且仅当a(t) a (t) 0。

(1)证明:a 常数 a2

常数 a(t),a(t) 常数

a (t),a(t) a(t),a (t) 0

2 a(t),a (t) 0 a(t),a (t) 0。

(2)注意到:a(t) 0,所以

a(t)的方向不变 单位向量e(t)

a(t)

a(t)

常向量。 若单位向量e(t)

a(t)

a(t)

常向量,则e (t) 0 e(t) e (t) 0。 反之,设e(t)为单位向量,若e(t) e (t) 0,则e(t)//e (t)。

由e(t)为单位向量 e(t),e(t) 1 e(t),e (t) 0 e(t) e (t)。从而,由e(t)//e (t)

e(t) e (t)

e (t) 0 e(t) 常向量。

所以,a(t)的方向不变 单位向量e(t)

a(t)

a(t)

常向量 e(t) e (t) 0 a(t)a(t) a (t) d(1

)a(t) a(t)dta(t) 0

1a(t)

a(t) a (t) ddt(12

a(t))1a(t)

a(t) a(t) 0 a(t) a (t) 0。即

a(t)的方向不变当且仅当a(t) a (t) 0。

补充:

定理 r(t)平行于固定平面 的充要条件是 r(t),r (t),r (t) 0。

第1页

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