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固体物理+黄昆答案 第三章

黄昆老师的 固体物理学 可谓是 固体物理学的经典 此为固体物理学的答案

第三章 晶格振动与晶体的热学性质

3.1已知一维单原子链,其中第j个格波,在第n个格点引起的位移为,μnj=ajsin(ωjt_naqj+σj),σj为任意个相位因子,并已知在较高温度下每个格波的平均能量为,具体计算每个原子的平方平均位移。

解:任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加,即

μn=∑μnj=∑ajsin(ωjt+naqj+σj) (1)

j

j

j

j

jj≠j′

相比是一小量,可以忽略不计。所以μn=

2

∑μ

j

2

nj

已知较高温度下的每个格波的能量为KT,μnj的动能时间平均值为

其中L是原子链的长度,ρ使质量密度,T0为周期。

w.

所以Tnj=

112ρw2La=KT (3) jj42

2

因此将此式代入(2)式有μnj=

ww

kh

j

1

Tnj=

T0

L

dx∫

T0

1 dμnj 2 ρwja2T01j2

dtLaωtnaqσdtLa2=sin()ρw2=++ ρ jjjjjj ∫0dtT224 0

所以每个原子的平均位移为

3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N格波解,当M=m时与一维单原子链的结果一一对应.

da

KT

2

ρLωj

22μn==∑μnj=∑

j

μ2j=

1

T0

T0

a2jsin(ωjt+naqj+σj)dt=

12

aj (2) 2

w.

由于μnj是时间t的周期性函数,其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

KTKT1

= ∑2

ρLω2ρωLjjj

co

由于μnj μnj数目非常大的数量级,而且取正或取负几率相等,因此上式得第2项与第一项

m

2*2*

= ∑μnj ∑μnjμn =∑μnj+∑μnj μnj′

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