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1高等数学竞赛练习题

很好的试题哦

分析 本题明显是型不定式, 结合变上限函数,故用洛必达法则求解.

解法1

[ lim

x 0

x

u0

2

arctan(1 t)dt]dux(1 cosx)

2

lim

x 0

x0

2

arctan(1 t)dt

1 cosx xsinx

lim

2xarctan(1 x)sinx sinx xcosx

2

1

x 0

limarctan(1 x)lim

x 0

x 0

2sinxx

cosx

2

143

6

.

解法2

[ lim

x 0

x0

xu0

2

arctan(1 t)dt]dux(1 cosx)arctan(1 t)dt

3x

2

[ lim

x 0

xu0

2

arctan(1 t)dt]du

x

2

3

2

lim

x 0

lim

2xarctan(1 x)

6x

x 0

2 . 346

3. 求极限

s 2 cox 1

3 li3

x 0x

x

分析 本题包含幂指函数, 如果考虑用洛必达法则将使计算很繁.故先用等价无穷小量替换,化简后再灵活求解. 解法1 原式 lime

x 0

2 cosx

xln

3

x

3

2 cosx

ln

13

lim2

x 0x

( sixn

2 coxs lix 02x

12lix 0

1

)

2 coxs

1sixnx

1.

6

解法2 原式 lime

x 0

2 cosx

xln

3

x

3

2 cosx

ln

13

lim2

x 0x

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